Максим Дунаевский родился в Москве в середине января 1945 года.
Его родителями были знаменитый композитор Исаак Дунаевский и
балерина Зоя Пашкова, выступавшая в прославленном Ансамбле
песни и пляски Советской Армии имени Александрова, а также в
Московском театре оперетты. Их отношения не были
официально оформлены. У Максима был единокровный старший брат Евгений, посвятивший себя живописи. Отчество и фамилию отца Максим получил официально, достигнув шестнадцатилетия, при оформлении паспорта. До этого момента он носил фамилию матери – Пашков. После смерти Исаака Дунаевского, когда Максиму исполнилось десять лет, встал вопрос о наследстве. Благодаря поддержке выдающихся деятелей музыкального искусства и специальному решению государственных органов, Максим был признан полноправным наследником наравне с законной супругой Исаака Дунаевского, З. А. Судейкиной, и их общим сыном Евгением.
В 1965 году он успешно окончил теоретико-композиторское отделение музыкального училища при Московской консерватории имени Чайковского.
В 1970 году Дунаевский завершил обучение в консерватории по классу композиции, где его наставниками были известные музыканты, такие как Николай Раков, Дмитрий Кабалевский, Андрей Эшпай, Тихон Хренников и Альфред Шнитке.
Несмотря на все возможности стать академическим композитором, судьба Максима Дунаевского круто изменилась после знакомства со студией «Наш дом», работавшей при студенческом театре МГУ под руководством Марка Розовского, Ильи Рутберга и Альберта Аксельрода. С августа 1964 года и до момента закрытия студии в 1969 году Дунаевский занимал должность музыкального руководителя.
В период с 1969 по 1974 год Дунаевский работал дирижером в Театре имени Вахтангова; в 1974—75 годах он занимал пост главного дирижера и музыкального руководителя Московского Мюзик-холла. С 1985 по 1987 год он руководил Государственным эстрадным оркестром РСФСР в качестве художественного руководителя и главного дирижера, приглашая в коллектив талантливых музыкантов, среди которых были Павел Смеян, Ирина Понаровская, Борис Оппенгейм, Вейланд Родд (младший), Андрей Давидян и участники рок-группы «СВ». В 1987 году он стал музыкальным руководителем Театра-студии музыкальной драмы под художественным руководством Юрия Шерлинга.
Помимо создания симфонической, камерной и вокальной музыки, Максим Дунаевский начал писать музыку для театральных постановок, а позднее и для кино и эстрады. В 1974 году он написал ряд песен для спектакля Марка Розовского в ТЮЗе, которые позже прозвучали в знаменитом телефильме «Д’Артаньян и три мушкетёра» (1978), где Розовский выступил в качестве сценариста.
Максим Дунаевский основал эстрадный ансамбль «Фестиваль» (1977—1990), который также исполнял рок-музыку. Он активно сотрудничал с известными поэтами-песенниками, такими как Леонид Дербенёв, Наум Олев, Юрий Ряшенцев, Илья Резник, Роберт Рождественский, Юрий Энтин и Николай Денисов. Песни Максима Дунаевского вошли в репертуар многих популярных исполнителей, включая Михаила Боярского, Жанну Рождественскую, Николая Караченцова, Павла Смеяна, Дмитрия Харатьяна, Любовь Успенскую, Машу Распутину, Игоря Наджиева, Татьяну Буланову и других. Среди его произведений – концерт для фортепиано с оркестром (1970), кантата для хора a cappella «Старые корабли» (на стихи А. Лундквиста, 1970), сочинения для различных камерных ансамблей, сонаты, вокальные циклы и хоровые произведения.
Он является автором музыки к более чем шестидесяти кинофильмам, в числе которых такие известные картины, как «Д’Артаньян и три мушкетёра», «Мушкетёры двадцать лет спустя», «Тайна королевы Анны, или Мушкетёры тридцать лет спустя», «Сокровища кардинала Мазарини, или Возвращение мушкетёров», «Ах, водевиль, водевиль…», «Карнавал», «Трест, который лопнул», «Зелёный фургон», «Мэри Поппинс, до свидания!», «Маленькое одолжение», «Светлая личность», телеспектаклю «Мальчик со шпагой», анимационным фильмам «Пиф-паф, ой-ой-ой!», «Летучий корабль» и «Кошкин дом», а также мюзиклам «Тили-тили-тесто…», «Емелино счастье», «Три мушкетёра», «В поисках капитана Гранта», «Веселые ребята-2», «Двенадцать стульев», «Любовь и шпионаж», посвящённому Мате Хари, и «Алые паруса». Кроме того, Максим Дунаевский является автором рок-оперы «Саломея, царевна Иудейская».
Он вел программу об оперетте под названием «С легким жанром!» на телеканале «Культура». Также был членом жюри музыкального телевизионного конкурса «Народный артист». С 2015 года он занимает должность председателя жюри музыкального телевизионного конкурса «Новая звезда».
В 1994 году специально для Николая Караченцова он создал десять песен на стихи Ильи Резника, которые позже были включены в сольный альбом актёра под названием «Моя маленькая леди», записанный в Лос-Анджелесе.
Он провел около восьми лет (с 1992 по 1999 год) в Соединенных Штатах Америки, работая в Голливуде и создавая музыку для нескольких кинофильмов.
С 2015 года он занимает должность художественного руководителя и председателя Художественного совета Московской областной филармонии.
В октябре 2018 года Максим Дунаевский принял участие в создании пятисерийного документального фильма под названием «Пока еще мы вместе, или Мушкетёры сорок лет спустя» (режиссер Вячеслав Каминский, автор сценария Максим Фёдоров), который рассказывает о создании кинокартин Георгия Юнгвальд-Хилькевича «Д’Артаньян и три мушкетёра», «Мушкетёры двадцать лет спустя», «Тайна королевы Анны, или Мушкетёры тридцать лет спустя» и «Возвращение мушкетёров, или Сокровища кардинала Мазарини». Премьера фильма состоялась 14 февраля 2020 года в Белом зале Центрального Дома кино.
В 2021 году он возглавил судейскую коллегию российской национальной премии и фестиваля «Музыкальное сердце театра».