Анатолий Яковлевич Лепин родился в Москве в конце декабря 1907
года, по старому стилю 17-го, по новому – 30-го. Его отец, Яков
Лиепиньш, латыш по национальности, занимался настройкой
музыкальных инструментов и прибыл в российскую столицу незадолго
до появления сына на свет.
В 1925 году Лепин поступил в Государственный техникум
кинематографии, позднее преобразованный во ВГИК. Однако уже
через год он изменил свой выбор, став студентом Музыкального
техникума имени братьев Рубинштейнов. Завершив
обучение там, он продолжил образование в Московской консерватории имени П. И. Чайковского, где в 1936 году получил диплом композитора. По окончании консерватории его направили преподавать в Ташкентскую консерваторию. В 1938 году он получил приглашение занять должность преподавателя в Харьковской консерватории. Наряду с классической музыкой, он проявлял интерес к джазу и написал ряд произведений для Леонида Утёсова и Надежды Казанцевой.
Во время Великой Отечественной войны Лепин давал авторские концерты на фронте, поддерживая боевой дух солдат. В 1945 году по предложению Августа Кирхенштейна, занимавшего пост председателя Верховного Совета Латвийской ССР, Лепин переехал в Ригу. Там он принял участие в конкурсе на создание гимна Латвийской ССР и одержал победу, став автором музыки к новому Государственному гимну республики (слова написали Ф. Я. Рокпелнис и Ю. Ванаг). Помимо этого, он сотрудничал с Латвийским музыкальным театром. В 1949 году он вступил в ряды ВКП(б). С 1950 года проживал в Москве, по адресу: улица Огарёва, дом 13.
Широкую известность Лепину принесли песни, прозвучавшие в популярных кинолентах, таких как «Мы с вами где-то встречались», «Девушка без адреса» и «Карнавальная ночь». Его «Песня о Москве» из кинофильма «Здравствуй, Москва!» (1946), начинающаяся словами «Нас улица шумом встречала», стала музыкальной эмблемой Московского радио. В последние годы жизни композитор начал работу над циклом романсов, вдохновлённых известными живописными произведениями, такими как «Девочка с персиками» и «Джоконда», однако не успел завершить этот замысел.
В начале 1970-х годов Лепин был одним из членов жюри популярного телевизионного конкурса «Алло, мы ищем таланты!».
Он ушёл из жизни 24 октября 1984 года вследствие проблем с сердцем и был похоронен на Ваганьковском кладбище.